Question

13．定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x²-2x，当x＞3时，f（x）=x²-10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为m＞-3或-12＜m＜-4．

Answer 1

分析 分别画出x≤3和x＞3的函数图象，得出两抛物线的交点坐标（3，3），结合函数图象知①直线f（x）=2x+m过点（3，3）时；②当直线f（x）=2x+m与f（x）=x²-2x只有一个交点时，方程只有一个实数解，分别求出m的值，结合函数图象可得m的取值范围．

解答 解：∵x≤3时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当f（x）=0时，由x²-2x=0得x=0或x=2，
∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
∵x＞3时，f（x）=x²-10x+24=（x-5）²-1，
∴此时抛物线的顶点坐标为（5，-1），
当f（x）=0时，由x²-10x+24=0得x=4或x=6，
∴此时抛物线与x轴的交点为（4，0）和（6，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{f（x）={x}^{2}-2x}\\{f（x）={x}^{2}-10x+24}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{f（x）=3}\end{array}\right.$，即两抛物线交点坐标为（3，3），
如图所示：

直线f（x）=2x+m可看作直线y=2x平移得到，
①当直线f（x）=2x+m过点（3，3），即6+m=3，得m=-3时，
直线f（x）=2x+m与f（x）=x²-2x的图象有两个交点；
②当直线f（x）=2x+m与f（x）=x²-2x有一个交点，即x²-2x=2x+m只有一个解时，方程f（x）=2x+m有且只有两个解，
解得：m=-4，
当直线f（x）=2x+m与f（x）=x²-10x+24只有1个交点时，即2x+m=x²-10x+24只有一个解，
解得：m=-12，
由图象可知当m＞-3或-12＜m＜-4时，方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，
故答案为：m＞-3或-12＜m＜-4．

点评 本题主要考查抛物线与直线的交点问题，根据题意画出函数图象，将问题转化为直线和抛物线交点问题求解是解题的关键．