Question

19．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，AB为⊙O的切线，且AB=AC．图中阴影部分的面积是$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接OA，AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．

解答 解：如图，连接OA，AD，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵∠ACB=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CD=4，
则根据勾股定理知AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4$\sqrt{3}$，则S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=4$\sqrt{3}$．
根据图示知，S_阴影=S_扇形ADO+S_△AOC=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$+4$\sqrt{3}$=$\frac{8π}{3}$+4$\sqrt{3}$，即图中阴影部分的面积是$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$；
故答案为$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．