题目内容
7．
如图，在直角坐标系中，长方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象与△MNB有公共点，设整式m2-10m+40的最大值为a，把它作为一直角三角形的一条直角边的长．若该直角三角形的另外两边长也为整数，请求出另一条直角边长的最大值是多少？
分析 （1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=4，最外的双曲线的m=8，可求得m的取值范围，再根据二次函数的性质可求得a的值，设直角三角形的斜边为c，另一直角边为b，由勾股定理可得到关于b、c的关系式，由条件可求得b的最大值．
解答 解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{2}$，b=3；
∴y=-$\frac{1}{2}$x+3；
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2；
又∵点M在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴2=-$\frac{1}{2}$x+3；
∴x=2；
∴M（2，2）；
（2）∵y=$\frac{m}{x}$（x＞0）经过点M（2，2），
∴m=4；
∴y=$\frac{4}{x}$；
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4；
∵点N在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵当x=4时，y=$\frac{4}{x}$=1，
∴点N在函数y=$\frac{4}{x}$的图象上；
（3）当反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象通过点M（2，2），N（4，1）时m的值最小，
当反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象通过点B（4，2）时m的值最大，
∴2=$\frac{m}{2}$，有m的值最小为4，
2=$\frac{m}{4}$，有m的值最大为8，
∴4≤m≤8；
设y=m2-10m+40=（m-5）2+15，
∴当4≤m≤8时，m=8时y有最大值，
∴a=24，
设直角三角形的斜边为c，另一直角边为b，
由勾股定理可得c2-b2=a2=242=576，
∴（c+b）（c-b）=576，
∵b、c为整数，
∴当c-b的差最小时b有最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+b=288}\\{c-b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=145}\\{b=143}\end{array}\right.$，
∴b的最大值为143，
即另一直角边的最大值为143．
点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、二次函数的性质、勾股定理等知识．在（1）（2）注意函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，在（3）中求得m的取值范围是解题的关键．此题难度稍大，综合性比较强，
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