Question

19．某小型残疾人企业经营某种消费品专卖店，这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；
（1）求该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系式；
（2）当商品的价格每件多少元时，月利润最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象是分段函数，于是应求14≤P≤20与20＜P≤26两部分的函数的解析式，由图象上的点代入Q=aP+b，求出即可；
（2）根据月销量与利润的积，求出月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系式，求出最值即可．

解答 解：（1）设月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系式为：Q=aP+b，
当14≤P≤20时，由图象得$\left\{\begin{array}{l}{14a+b=22}\\{20a+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=50}\end{array}\right.$，
∴Q=-2P+50，
同理求得20＜P≤26时，Q=-$\frac{3}{2}$x+40，
∴Q=$\left\{\begin{array}{l}{-2P+50（14≤P≤20）}\\{-\frac{3}{2}P+40（20＜P≤26）}\end{array}\right.$；

（2）由（1）知，当14≤P≤20时，y=100（P-14）（-2P+50）=-200P²+7800P-70000，
当P=-$\frac{7800}{-2×2}$=19.5时，y_最大=112550，
当20＜P≤26时，y=100（P-14）（-$\frac{3}{2}$P+40）=-150P²+6100P-5600，
当P=$\frac{6100}{2×（-150）}$=$\frac{61}{3}$时，y_最大=$\frac{202850}{3}$＜112550，
综上所述：当商品的价格每件19.5元时，月利润最大，为112550元．

点评 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的最大值，正确的列出函数的解析式是解题的关键．