Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，点D是AB边上的点，$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{2}$，点P为底边BC上的一动点，则△PDA周长的最小值为2$\sqrt{7}$+2．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AD=2，BD=4，作A关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P，则DA′=PD+PA的最小值，过A′作A′H⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：∵AB=AC=6，$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，BD=4，
作A关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P，
则DA′=PD+PA的最小值，
过A′作A′H⊥AB于H，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAA′=60°，∠B=∠C=30°，
∴AA′=6，A′H=3$\sqrt{3}$，
∴DH=3-2=1，
∴A′D=$\sqrt{D{H}^{2}+A′{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴△PDA周长的最小值=2$\sqrt{7}$+2，
故答案为：2$\sqrt{7}$+2．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．