Question

15．如图，已知二次函数y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c与一次函数y=kx+2的图象恰好交于坐标轴上A，B两点，且OB=2OA，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D点作DE⊥x轴于点E，交直线AB与点F．

（1）请直接写出此二次函数和一次函数的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，四边形AOBD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）在直线DE上取一点G，使得FG=DF，若以G为圆心、CD为半径画圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
（3）根据平行于y轴上的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DF的长，根据线段中点的性质，可得DG的长根据圆与y轴相切，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，可得D点坐标；

解答 解：（1）在y=kx+2中，当x=0时，y=2；
∴OA=2，
∵OB=2OA，
∴OB=4，
∴A（0，2），B（4，0）．
把点B的坐标代入y=kx+2得：4k+2=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；
把A（0，2），B（4，0）代入y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c中，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；

（2）如图，

连接AB，DO，
∵点D的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）
∴S_△ABD=S_△AOD+S_△DOB-S_AOB
=$\frac{1}{2}$×2m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）-$\frac{1}{2}$×2×4
=-$\frac{1}{2}$m²+2m
=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2
当m=2时，S有最大值2．

（3）设F点的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
则D点的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2），
∴DF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{4}$x²+x
∵G点与D点关于F点对称，
∴GD=2FD=2（-$\frac{1}{4}$x²+x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与y轴相切，即
-$\frac{1}{2}$x²+2x=x，
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上所述：D点的坐标为（2，2）；

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于x的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．