Question

2．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点（不与端点重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接AP，EF．
（1）求证：AP=EF；
（2）试判断AP与EF的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC，PC，由四边形ABCD是正方形，可得BD垂直平分AC，即可证得AP=PC，又由PE⊥BC，PF⊥CD，证得四边形PECF是矩形，可判定EF=PC，继而证得结论；
（2）AP⊥EF．过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，利用全等三角形的判定定理可得△ANP≌△FPE（SSS），在△APN与△FPM中，根据三角形的内角和定理可得结论．

解答 （1）证明：连接AC，PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，∠BCD=90°，
∴AP=CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF

（2）解：AP⊥EF．
过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBD=45°，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴DF=PF，又AN=DF，
∴AN=FP，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，
∴NP=EP，
又∵AP=PC，
四边形PECF为矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，
在△ANP与△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=FP}\\{NP=EP}\\{AP=EF}\end{array}\right.$，
则△ANP≌△FPE（SSS），
∴∠NAP=∠PFE，
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF．

点评 此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．