Question

20．如图，AB是⊙O的直径，AB=4$\sqrt{3}$，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当$\frac{CF}{CP}$=$\frac{3}{4}$时，求劣弧$\widehat{BC}$的长度（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；
（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；

解答 （1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∴BC平分∠PCE．

（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE．

（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵△BMC∽△PMB，
∴$\frac{BM}{PM}$=$\frac{CM}{BM}$，
∴BM²=CM•PM=3a²，
∴BM=$\sqrt{3}$a，
∴tan∠BCM=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，
∴$\widehat{BC}$的长=$\frac{60•π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．