Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE，连接CE、CF．

（1）求证：CE=CF．

（2）在图1中，若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题，如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，且∠DCE=45°．

①若AE=6，DE=10，求AB的长；

②若AB=BC=9，BE=3，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）成立（3）①12；②7.5

【解析】

（1）先判断出∠B=∠CDF，进而判断出△CBE≌△CDE，即可得出结论；

（2）先判断出∠BCE=∠DCF，进而判断出∠ECF=∠BCD=90°，即可得出∠GCF=∠GCE=45°，得出△ECG≌△FCG即可得出结论；

（3）先判断出矩形ABCH为正方形，进而得出AH=BC=AB，

①根据勾股定理得，AD=8，由（1）（2）知，ED=BE+DH，设BE=x，进而表示出DH=10-x，用AH=AB建立方程即可得出结论；

②由（1）（2）知，ED=BE+DH，设DE=a，进而表示出DH=a-3，AD=12-a，AE=6，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论．

（1）在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠ADC，

∴∠B=∠CDF，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）成立，由（1）知，△CBF≌△CDE，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

∴∠ECF=∠BCD=90°，

∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD；

（3）如图2，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=90°，

∵∠CHA=90°，

∴四边形ABCH为矩形，

∵AB=BC，

∴矩形ABCH为正方形，

∴AH=BC=AB，

①∵AE=6，DE=10，根据勾股定理得，AD=8，

∵∠DCE=45°，

由（1）（2）知，ED=BE+DH，

设BE=x，

∴10+x=DH，

∴DH=10-x，

∵AH=AB，

∴8+10-x=x+6，

∴x=6，

∴AB=12；

②∵∠DCE=45°，

由（1）（2）知，ED=BE+DH，

设DE=a，

∴a=3+DH，

∴DH=a-3，

∵AB=AH=9，

∴AD=9-（a-3）=12-a，AE=AB-BE=6，

根据勾股定理得，DE2=AD2+AE2，

即：（12-a）2+62=a2，∴a=7.5，

∴DE=7.5．