Question

12．如图，直线y=x-2与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，1）和点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）若点P是坐标平面内一点，且以A，O，B，P为顶点构成一个平行四边形，请你直接写出该平行四边形对角线交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，然后联立双曲线与直线解析式即可求出B的坐标．
（2）过点△ABO的三个顶点作对边的平行线，交于P₁、P₂、P₃，由平行四边形的性质可知，OA、OB、OC是A，O，B，P为顶点构成一个平行四边形的对角线，从而可知该平行四边形对角线交点分别是OA、OB、AB的中点．

解答 解：（1）把A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴B的坐标为（-1，-3）
（2）过点△ABO的三个顶点作对边的平行线，交于P₁、P₂、P₃，
∴OA、OB、OC是A，O，B，P为顶点构成一个平行四边形的对角线，
由平行四边形的性质可知：该平行四边形对角线交点分别是OA、OB、AB的中点，
∵A（3，1），B（-1，-3），O（0，0）
∴由中点坐标公式可知：OA的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）
OB的中点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
AB的中点坐标为（1，-1）
∴该平行四边形对角线交点的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）、（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），（1，-1）

点评 本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是求出B的坐标，然后根据平行四边形的性质求出中点坐标，本题涉及中点坐标公式，属于中等题型．