Question

10．将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处．折痕为EF，若S_△ABE：S_{四边形ABFE}=4：9，则cos∠BEF=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• C． 3
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由S_△ABE：S_{四边形ABFE}=4：9，可知AE：BF=4：5，然后由平行线的性质和翻折的性质可知：∠BEF=∠BFE，从而得到BE=BF，设AE=4x，则BE=BF=5x，在Rt△ABE中，由勾股定理得；AB=3x，接下来证明四边形ABFG为矩形，得到GE=x，在△EGF中，EF=$\sqrt{10}x$，从而可求得cos∠BEF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

解答 解：如图所示，过点F作FG⊥AD，垂足为G．

∵S_△ABE：S_{四边形ABFE}=4：9，
∴S_△AEB：S_BEF=4：5．
∴AE：BF=4：5．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
由翻折的性质可知：∠DEF=∠BEF．
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
设AE=4x，则BE=BF=5x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得；$AB=\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}=3x$．
∵∠A=∠ABF=∠FGA=90°，
∴四边形ABFG为矩形，
∴GF=AB=3x．AG=BF=5x．
∴GE=AG-AE=5x-4x=x．
在△EGF中，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{10}x$．
∴cos∠FEG=$\frac{EG}{EF}=\frac{x}{\sqrt{10}x}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cos∠BEF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：D．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、矩形的性质和判定，证得BF=BE，然后由勾股定理求得AB的长是解题的关键．