Question

8．设二次函数y=（m-1）x²+（m-2）x-1，记其图象为C．
（1）若图象C与x轴有两个公共点，求实数m的取值范围；
（2）求证：图象C恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标；
（3）若图象C上所有点均在直线y=mx+1的下方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的定义可知m-1≠0，然后再根据△＞0列不等式求解即可；
（2）将（m-1）x²+（m-2）x-1分解分式，从而可判断C横过点（-1，0）；
（3）根据题意可知m-1＜0，且方程y=mx+1与方程y=（m-1）x²+（m-2）x-1无公共点．

解答 解：（1）由二次函数的定义可知m-1≠0，
∴m≠1．
∵图象C与x轴有两个公共点，
∴方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有两个不相等的实数根．
∴（m-2）²+4（m-1）＞0．
解得：m≠0．
∴m的取值范围是m≠0且m≠1．
（2）令y=0得：（m-1）x²+（m-2）x-1=0
∴[（m-1）x-1]（x+1）=0．
∴当x=-1，y=0．
∴无论m取何值函数图象横过点（-1，0）．
（3）根据题意可知：m-1＜0，且y=mx+1与y=（m-1）x²+（m-2）x-1无公共点．
由m-1＜0得m＜1．
由方程y=mx+与1y=（m-1）x²+（m-2）x-1无公共点可知：方程（m-1）x²+（m-2）x-1-mx-1=0无解．
整理得：（m-1）x²-2x-2=0．
∴4+8（m-1）＜0．
解得：m＜$\frac{1}{2}$．
∴m的取值范围是m$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的二次函数与x轴的交点问题，将函数问题转化为方程、不等式问题是解题的关键．