Question

18．在△ABC中，点D是BC的中点．
（1）过点C和点B分别作CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F；
（2）请证明：BF=CE．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）通过作图“过点C、B作AD及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由AD是中线知BD=CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明△BDF≌△CDE；最后根据全等三角形的对应边相等来证明BF=CE．

解答 （1）解：如图所示，

（2）证明：∵CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED=∠BFD=90°，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDE}\\{BD=CD}\\{∠CED=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理证明CE∥BF，然后通过平行线的性质求得∠DBF=∠DCE才能构建是全等三角形△BDF≌△CDE．