Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，$\frac{9}{4}$），点A坐标为（-1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）易得抛物线的顶点为（0，$\frac{9}{4}$），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM²、MN²，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．

解答 解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴抛物线的顶点为（0，$\frac{9}{4}$），
故抛物线的解析式可设为y=ax²+$\frac{9}{4}$．
∵A（-1，2）在抛物线y=ax²+$\frac{9}{4}$上，
∴a+$\frac{9}{4}$=2，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数关系表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，
解得p=1，
∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（-3，3），
此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，
则OD=t，OE=t+1．
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
当x=t时，y=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，则N（t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），DN=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$．
当x=t+1时，y=-$\frac{1}{2}$（t+1）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$t+1，则M（t+1，-$\frac{1}{2}$t+1），ME=-$\frac{1}{2}$t+1．
在Rt△DEM中，DM²=1²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{1}{2}$t+1）=$\frac{1}{2}$，
∴MN²=1²+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
①当DN=DM时，
（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2，
解得t=$\frac{1}{2}$；
②当ND=NM时，
-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得t=3-$\sqrt{5}$；
③当MN=MD时，
$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$t²-t+2，
解得t₁=1，t₂=3．
∵0≤t≤2，∴t=1．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为$\frac{1}{2}$，3-$\sqrt{5}$或1．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）、（3）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．