Question

如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点，OD⊥AC于点D．过C作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接AP．
（1）求证：AP是⊙O的切线．
（2）若

AC

AB

=

4

5

，PD=

16

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，易证得△AOP≌△COP（SAS），可得∠PAO=∠PCO，又由PC是⊙O的切线，易证得OA⊥PA，即可证得AP是⊙O的切线．
（2）首先连接BC，由

AC

AB

=

4

5

，易证得

CD

CO

=

4

5

，可设CD=4k，则CO=5k，OD=3k，易证得△CPD∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PD=

16

3

k，又由PD=

16

3

，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OC．
∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，OA=OC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠PCO=∠PAO，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PAO=90°，
即OA⊥PA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；

（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴

AD

AO

=

AC

AB

=

4

5

，
∴

CD

CO

=

4

5

，
设CD=4k，则CO=5k，OD=3k．
∵∠CPD+∠COD=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∴∠CPD=∠OCD，
∵∠PDC=∠CDO=90°，
∴△CPD∽△OCD，
∴

CD

PD

=

OD

DC

，
∴PD=

16

3

k，
∵PD=

16

3

，
∴k=1，
∴OC=5，
∴⊙O的半径长为5．

点评：此题考查了切线的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．