Question

如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为

2

cm，1cm，
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）则弦AC、BD所夹的锐角α的度数是多少？

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA、OB，根据垂径定理得AE=BE=

1

2

AB，由OA=OB=1，AB=

2

，根据勾股定理的逆定理得△OAB为等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得OE=

1

2

AB=

2

2

；
（2）连结OC、OD，先判断△OCD为等边三角形，得到∠COD=60°，根据圆周角定理得∠CAD=

1

2

∠COD=30°，由△OAB为等腰直角三角形得∠AOB=90°，
根据圆周角定理得∠ADB=

1

2

∠AOB=45°，然后利用三角形外角性质计算∠α的度数．

解答：解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA、OB，如图，
∴AE=BE=

1

2

AB，
∵OA=OB=1，AB=

2

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=

2

2

；
（2）连结OC、OD，如图，
∵OC=OD=1，CD=1，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠CAD=

1

2

∠COD=30°，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=45°，
∴∠α=∠CAD+∠ADB=30°+45°=75°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．