Question

6．如图，将边长为2a（a＞0）的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折线交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G．
（1）如果M为CD的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M为CD上任一点，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM长x（即DM=x，x＞0）的代数式表示；若无关，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设DE为x，则根据折叠知道DM=a，EM=EA=2a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，可得出DE，DN，EM的长，从而求出它们的比值；
（2）△CMG的周长与点M的位置无关．设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4a²-x²=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．

解答 证明：（1）DE为x，则DM=a，EM=EA=2a-x，
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+a²=（2-a）²
x=$\frac{3}{4}$a，
∴EM=$\frac{5}{4}$a．
∴DE：DM：EM=3：4：5；

（3）△CMG的周长与点M的位置无关．
证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△DEM∽△CMG，
∴$\frac{CG}{DM}$=$\frac{CM}{DE}$=$\frac{MG}{EM}$即$\frac{CG}{x}$=$\frac{2a-x}{y}$=$\frac{MG}{2a-y}$，
∴CG=$\frac{x（2a-x）}{y}$，MG=$\frac{（2a-x）（2a-y）}{y}$，
∴△CMG的周长为CM+CG+MG=$\frac{4{a}^{2}-{x}^{2}}{y}$，
∵在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
∴x²+y²=（2a-y）²
整理得4a²-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=$\frac{4ay}{y}$=4a．
所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、相似三角形的应用和正方形性质的应用，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决，属于中考常考题型．