Question

20．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，即可得到∠ABC=∠ABD，弧AC=弧AD．

解答 解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}\\{PO=PO}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；

（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PD}\\{∠CPB=∠DPB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；

（3）连接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPO=∠CBP}\\{PC=BC}\\{∠PCO=∠BCA}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB，
∴PO=AB，
∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，
∴AB≠CD，
∴PO≠DC，
故（3）错误；

（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
故（4）正确；
故选C．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．