Question

10．在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，并且AB=9，OB=6，OA=3$\sqrt{5}$，
（1）求证：AC⊥BD；
（2）?ABCD是菱形吗？说明理由；
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理逆定理得出AC⊥BD；
（2）利用菱形的判定方法得出即可；
（3）利用菱形的面积求法直接求出即可．

解答 （1）证明：∵AB=9，OB=6，OA=3$\sqrt{5}$，
∴6²+（3$\sqrt{5}$）²=9²，
即OB²+AO²=OB²，
∴AC⊥BD；

（2）解：?ABCD是菱形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形；

（3）解：∵?ABCD是菱形，OB=6，OA=3$\sqrt{5}$，
∴AC=6$\sqrt{5}$，BD=12，
∴四边形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$×12×6$\sqrt{5}$=36$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及其面积求法和勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．