题目内容
20．
如图，O是坐标原点，过点A（-1，0）的抛物线y=x2-bx-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．（1）求b的值以及D点坐标．
（2）在x轴上是否存在点P，能使得△ACP与△BCD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m，1）．
①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；
②连结OQ、CQ，求△CQO的外接圆半径的最小值，并求出点Q的坐标．
分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据相似三角形的性质，可得AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标；
（3）①根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C、D的关系，根据线段的和差，可得FC的长，根据平行四边形的性质，可得CQ的长，根据勾股定理，可得FQ的长；
②根据三角形的外心在边的垂直平分线上，可得M在OC的垂直平分线上，根据切线的性质MQ=FN，根据勾股定理，可得MN的长，可得答案．
解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx-3，得
1+b-3=0，
解得b=2．
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴D（1，-4）．
（2）如图1
，
当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，即A（-1，0），B（3，0），D（1，-4）．
由勾股定理，得
BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，
BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，
①当△APC△DCB时，$\frac{AP}{CD}$=$\frac{CP}{BC}$，即$\frac{AP}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得AP=1，即P（0，0）；
②当△ACP∽△DCB时，$\frac{AP}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，解得AP=10，即P′（9，0），
综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）；
（3）①如图2
，
设抛物线的对称轴与x轴交于E点，则OE=1，DE=4．
当x=0时，y=-3，即C（0，-3）．
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
OB=3，OC=3，BE=2．
设直线y=1与y轴交于点F，
CF=4，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
当四边形BQCD是平行四边形时，CQ=BD=2$\sqrt{5}$，
∵CF=OF+OC=1+3=4，
∴FQ=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{F}^{2}}$=2，
m=FQ=2；
②如图3
，
记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（MN与y轴交与点N）．
∵当MQ取最小值时，
⊙M与直线y=1相切，
MQ=FN=OM=2.5，
MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2，
FQ=MN=2，
∴Q（2，1）．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法求函数的顶点坐标；（2）利用相似三角形的性质得出关于AP的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用勾股定理得出关于FQ的值是解题关键．
如图，A、B两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形，分别转动A盘、B盘各一次．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率是$\frac{1}{2}$．
如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．| A． | 10 | B． | 8 | C． | 6或10 | D． | 8或10 |
已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔．小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：