如图.O是坐标原点.过点A的抛物线y=x2-bx-3与x轴的另一个交点为B.与y轴交于点C.其顶点为D点．(1)求b的值以及D点坐标．(2)在x轴上是否存在点P.能使得△ACP与△BCD相似.若存在.求出点P的坐标.若不存在.说明理由．(3)连结BD.CD.动点Q的坐标为(m.1)．①当四边形BQCD是平行四边形时.求m的值,②连结OQ.CQ.求△CQO的外接圆半径的最小值.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，O是坐标原点，过点A（-1，0）的抛物线y=x²-bx-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．
（1）求b的值以及D点坐标．
（2）在x轴上是否存在点P，能使得△ACP与△BCD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m，1）．
①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；
②连结OQ、CQ，求△CQO的外接圆半径的最小值，并求出点Q的坐标．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据相似三角形的性质，可得AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标；
（3）①根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C、D的关系，根据线段的和差，可得FC的长，根据平行四边形的性质，可得CQ的长，根据勾股定理，可得FQ的长；
②根据三角形的外心在边的垂直平分线上，可得M在OC的垂直平分线上，根据切线的性质MQ=FN，根据勾股定理，可得MN的长，可得答案．

解答解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-bx-3，得
1+b-3=0，
解得b=2．
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，∴D（1，-4）．
（2）如图1，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0），D（1，-4）．
由勾股定理，得
BC²=18，CD²=1+1=2，BD²=2²+16=20，
BC²+CD²=BD²，∠BCD=90°，
①当△APC△DCB时，$\frac{AP}{CD}$=$\frac{CP}{BC}$，即$\frac{AP}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得AP=1，即P（0，0）；
②当△ACP∽△DCB时，$\frac{AP}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，解得AP=10，即P′（9，0），
综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）；
（3）①如图2，
设抛物线的对称轴与x轴交于E点，则OE=1，DE=4．
当x=0时，y=-3，即C（0，-3）．
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
OB=3，OC=3，BE=2．
设直线y=1与y轴交于点F，
CF=4，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
当四边形BQCD是平行四边形时，CQ=BD=2$\sqrt{5}$，
∵CF=OF+OC=1+3=4，
∴FQ=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{F}^{2}}$=2，
m=FQ=2；
②如图3，
记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（MN与y轴交与点N）．
∵当MQ取最小值时，
⊙M与直线y=1相切，
MQ=FN=OM=2.5，
MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2，
FQ=MN=2，
∴Q（2，1）．