Question

9．已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，当点D、E分别在AB、AC上时，如图（1），易证：BD=CE．当点D在AB延长线上，点E在BC延长线上时，如图（2）；当点D在AB反向延长线上，点E在BC延长线上时，如图（3）．图（2）图（3）又有怎样的结论？猜想并选择其中一图进行证明．

Answer 1

分析 图（2）中，结论：BD=CE，由△FAD≌△DBC得DF=DC，可以证明△DFC是等腰直角三角形，再证明四边形AECF是平行四边形，即可解决问题，图（3）结论不变，证明方法类似．

解答 解：图（2）中，结论：BD=CE
理由：作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°，
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴FC∥AP，
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，∵AF=BD
∴BD=CE．
（2）图（3）中，结论：BD=CE
理由：作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°，
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴FC∥AP，
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，∵AF=BD，
∴BD=CE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质/平行四边形的判定及性质/等腰直角三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．