Question

13．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，a），P（b，c），且（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+c²-2c+1=0，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边三角形△PBC．
（1）求证：OB=AC；
（2）求a，b，c的值；
（3）当点B运动时，AE的长度是否发生变化？为什么？
（4）在x轴上是否存在点F，使得△OPF是等腰三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知：PA=OP，PB=PC，然后再证明∠OPB=∠APC，依据SAS证明△OPB≌△APC，从而得到OB=AC；
（2）将c²-2c+1变形为（c-1）²，然后依据非负数的性质求解即可；
（3）由△OPB≌△APC可知∠APC=60°，从而可知AE的长度不会变化；
（4）分别以点O，P，F为顶点进行分类讨论即可．

解答 解：（1）∵△AOP、△PBC是等边三角形，
∴PA=OP，PB=PC，∠OPA=∠BPC=60°．
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC．
在△OPB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=OP}\\{∠OPB=∠APC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△OPB≌△APC．
∴OB=AC．
（2）∵（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+c²-2c+1=0，
∴（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+（c-1）²=0．
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
（3）∵△OPB≌△APC，
∴∠BOP=∠CAP=60°．
∴∠CAO=120°．
∵∠CAO为定值，
∴AE的长度不会变化．
（4）如图1所示：PO=PF，过点P作PD⊥OF．

∵OP=PF，PD⊥OF，
∴OD=DF．
∵∠POD=30°，PD⊥OD，
∴OD=OP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴OF=2$\sqrt{3}$．
∴点F的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）．
如图2所示：OP=OF．

∵OP=OF=2，
∴点F的坐标为（2，0）或（-2，0）．
如图3所示：OF=FP，过点F作FD⊥OP．

∵OF=FP，FD⊥OP，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=1．
在Rt△ODF中，OF=DO$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=1×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴点F的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）．
综上所述，点F的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）或（2，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（-2，0）．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．