Question

7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合；
（1）求证；四边形AMCD为菱形；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）当AB=4时，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接MC，根据对折前后的两个角完全重合，利用角的关系证明AD∥MC，然后证明出四边形AMCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到AM=CD，从而得到AM=MC，于是得到结论；
（2）由（1）证得AM=CM，点M是AB的中点，所以AM=MC=MB，从而得证；
（3）先证明△BCM是等边三角形，然后求出等边三角形BM边上的高，再利用梯形的面积公式列式计算即可．

解答 解：（1）如（1）题图，连接MC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠MCA，
∴∠DAC=∠MCA，
∴AD∥MC，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴AM=CD，
∵△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合，
∴DC=MC，
∴AM=MC，
∴?AMCD是菱形；

（2）由（1）证得AM=CM
∵点M是AB的中点，
∴AM=BM，
∴AM=MC=BM，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；

（3）如（2）题图，由（1）得四边形AMCD是平行四边形，
∴AD=MC，
∵AD=BC，
∴MC=BC，
∴△BCM是等边三角形，
∵AB=4，
∴BC=BM=$\frac{1}{2}$AB=2，
过点C作CE⊥MB，垂足为E，
则BE=$\frac{1}{2}$MB=1，
由勾股定理得，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（2+4）×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，作出辅助线把梯形的问题转化为平行四边形与的问题是解题的关键．