Question

10．已知OA=OB，点C是∠AOB内一点，点E、F均在射线OC上（点E、F不重合）
（1）如图①?，若∠AOB=90°，∠AEO=∠BFO=90°，试说明：AE=OF；
（2）如图②?，若∠AOB=x°（0＜x≤90°），∠AEO=∠BFO=y°，且x+y=180°，AE=OF还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，射线OC绕点O在∠AOB内转动，AE、OE、EF三条线段始终有怎样的数量关系？请直接写出答案，不需要写过程（考虑问题要全面哦）．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BOF=∠A，进而得出△AOE≌△OBF，即可得出AE=OF；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）①借助（2）的结论AE=OF和图形即可得出结论；
②同（2）的方法得出AE=OF，在借助图形即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOF=90°，
∵∠AEO=90°，
∴∠A+∠AOC=90°，
∴∠BOF=∠A，
在△AOE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO=90°}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF，
∴AE=OF，
（2）∵∠AOE+∠A+∠AEO=180°，∠AOB+∠AEO=180°，
∴∠AOE+∠A=∠AOB=∠AOE+∠BOF，
∴∠A=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF，
∴AE=OF；
（3）①如图②，

由（2）知AE=OF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=OE+EF，
②如图③，

同（2）的方法得，AE=OF，
∵OF=OE-EF，
∴AE=OE-EF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等角的余角相等和补角相等，三角形全等的判定和性质，解本题的关键是△AOE≌△OBF，用到类比的思想方法解决（2）（3）问，是一道中等难度的中考常考题．