Question

四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是AD边上的动点．连结DE、CF．
（1）若四边形ABCD是矩形，AD=12，CD=10，如图（1）．
①请直接写出AE的长度；
②当DE⊥CF时，试求出CF长度．
（2）如图（2），若四边形ABCD是平行四边形，DE与CF相交于点P．探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，

DE

CF

=

AD

CD

成立？并证明你的结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①根据矩形的性质和中点的定义就可以得出AE的值；
②根据勾股定理就可以求出ED的值，再由△CFD∽△DEA，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（2）当∠B+∠EPC=180°时，

DE

CF

=

AD

CD

成立，证△DFP∽△DEA，得出

DE

AD

=

DF

DP

，证△CPD∽△CDF，得出

DF

DP

=

CF

CD

，即可得出答案．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠ADC=90°．
∵AD=12，CD=10，
∴BC=12，AB=10．
∵点E是AB的中点，
∴AE=

1

2

AB=5．
②∵DE⊥CF，
∴∠DPC=∠DPF=90°，
∴∠DFC+∠DCF=90°，∠DFC+∠FDP=90°，
∴∠DCF=∠FDP．
∵∠A=∠ADC，
∴△CFD∽△DEA，
∴

CD

AD

=

CF

ED

．
在Rt△AED中，由勾股定理，得
ED=13．
∴

10

12

=

CF

13

，
∴CF=

65

6

．
答：CF的长度为

65

6

；
（2）当∠B+∠EPC=180°时，

DE

CF

=

AD

CD

成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EPC=180°，
∴∠A=∠EPC=∠FPD，
∵∠FDP=∠EDA，
∴△DFP∽△DEA，
∴

DE

AD

=

DF

DP

，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EPC=180°，∠EPC+∠DPC=180°，
∴∠CPD=∠CDF，
∵∠PCD=∠DCF，
∴△CPD∽△CDF，
∴

DF

DP

=

CF

CD

，
∴

DE

AD

=

CF

CD

∴

DE

CF

=

AD

CD

，
即当∠B+∠EPC=180°时，

DE

CF

=

AD

CD

成立．

点评：本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．