Question

13．如图，抛物线y=kx²-2kx-3经过点P（4，5），过点P的直线AM：y=mx+t₁（m＜0）与抛物线交于点M，与x轴交于点A，过点P的另一直线BN：y=nx+t₂（n＞0）与抛物线交于点N，与x轴交于点B，已知PA=PB．
（1）直接写出抛物线的解析式为y=x²-2x-3
问题探究：若点M的横坐标为-3，则点N的横坐标为-1，若点M的横坐标为-4，则点N的横坐标为0；
（2）结论猜想：若点M的横坐标为a，点N的横坐标为b，请根据（1）猜想a，b之间的数量关系为a+b=-4，并给予证明．
（3）综合应用：已知直线y=-x+n与抛物线y=-x²+4交于A，B两点，在抛物线上是否存在点P，连接PA，PB分别交y轴，x轴于点D，C，使∠DPB=2∠PCO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点P（4，5）代入抛物线y=kx²-2kx-3的解析式求出k即可．
（2）结论：a+b=-4．由M（a，a²-2a-3），P（4，5），得到直线PM的解析式为y=（a+2）x-4a-3，由PB=PA，可得直线PB的解析式为y=-（a+2）x+4a+13，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（a+2）x+4a+13}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a-4}\\{y={a}^{2}+10a+13}\end{array}\right.$，点N的横坐标为b=-a-4，由此即可解决问题．
（3）如图2中，延长PA交x轴于M．设P（m，-m²+4），由直线y=-x+n与抛物线y=-x²+4交于A，B两点，可知A、B两点的横坐标之和为1，设A（a，-a²+4），B[1-a，-（1-a）²+4]，由∠DPB=2∠PCO=∠PMC+∠PCM，推出∠PMC=∠PCM，推出PM=PC，可知k_PA+k_PC=0，可得方程$\frac{-{m}^{2}+4+{a}^{2}-4}{m-a}$+$\frac{-{m}^{2}+4+（1-a）^{2}-4}{m-1+a}$=0，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=kx²-2kx-3经过点P（4，5），
∴5=16k-8k-3=0，
∴k=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
由题意当M（-3，12），P（4，5），
∴直线PM的解析式为y=-x+9，
∴A（（9，0），
∴PA=PB，
∴B（-1，0），
∴直线PB的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点N坐标（-1，0）．
当M（-4，21）时，直线PM的解析式为y=-2x+13，
∴A（6.5，0），∵PA=PB，
∴B（1.5，0），
∴直线PB的解析式为y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴点N（0，-3）．
故答案分别为y=x²-2x-3，-1，0．

（2）结论：a+b=-4．
理由：如图1中，

∵M（a，a²-2a-3），P（4，5），
∴直线PM的解析式为y=（a+2）x-4a-3，
∵PB=PA，可得直线PB的解析式为y=-（a+2）x+4a+13，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（a+2）x+4a+13}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a-4}\\{y={a}^{2}+10a+13}\end{array}\right.$，
∴点N的横坐标为b=-a-4，
∴a+b=-4．
故答案为a+b=-4．

（3）如图2中，延长PA交x轴于M．设P（m，-m²+4）

由直线y=-x+n与抛物线y=-x²+4交于A，B两点，可知A、B两点的横坐标之和为1，设A（a，-a²+4），B[1-a，-（1-a）²+4]，
∵∠DPB=2∠PCO=∠PMC+∠PCM，
∴∠PMC=∠PCM，
∴PM=PC，
∴k_PA+k_PC=0，
∴$\frac{-{m}^{2}+4+{a}^{2}-4}{m-a}$+$\frac{-{m}^{2}+4+（1-a）^{2}-4}{m-1+a}$=0，
∴-m-a-1+a-m=0，
∴2m=-1，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴点P坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线的位置关系与斜率之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，第三个问题的突破点是k_PA+k_PC=0，属于中考压轴题．