Question

4．（1）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．求证：DE=DF；
（2）如图2，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D是BC边上的动点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．请问DE+DF的值是否随点D位置的变化而变化？若不变，请直接写出DE+DF的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF；
（2）连接AD，根据三角形的面积公式即可得到$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=12，进而求得DE+DF的值．

解答 （1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF．
      
（2）解：不变．
如图2所示：连接AD，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴△ABC底边BC上的高=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×12=60，
∴$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=60，
∴DE+DF=$\frac{120}{13}$，
故答案为：$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．