Question

2．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC=12，AH=8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是矩形，设EF=X．
（1）用x表示DE的长；
（2）当矩形DEFG的面积最大时，求EF的长，并出矩形DEFG的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据EF=x，AH=8可知AK=8-x，再利用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）利用x表示出矩形DEFG的面积，利用二次函数的最值问题即可得出结论．

解答 解：（1）EF=x，AH=8，则AK=8-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AH}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴DE=$\frac{AK•BC}{AH}$=$\frac{（8-x）×12}{8}$=12-$\frac{3}{2}$x；

（2）∵EF=x，DE=12-$\frac{3}{2}$x，
∴S_矩形DEFG=EF•DE=12x-$\frac{3}{2}$x²，
当x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{12}{2×（-\frac{3}{2}）}$=4时，矩形DEFG的最大面积=24．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．