Question

20．如图，一次函数y=x+3的图象与轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象相交于C，D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△DCE≌△CDF；
②△AOB∽△FOE；
③△CEF与△DEF的面积相等；
④AC=BD．
其中正确的有①②③④．（只填写序号）

Answer 1

分析 先求出A、B、C、D四点坐标，再由DF⊥x轴，CE⊥y轴即可得出CE及DF的长，故可得出①正确；利用待定系数法求出直线EF的解析式，根据解析式的系数可判断出AB∥EF，再由相似三角形的判定定理可得出②正确；根据同底等高的三角形面积相等可知③正确；根据两点间的距离公式求出AC及BD的长可知④正确．

解答 解：∵一次函数y=x+3的图象与轴，y轴交于A，B两点，
∴A（-3，0），B（0，3）．
∵与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象相交于C，D两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$，
∴C（-4，-1），D（1，4）．
∵DF⊥x轴，CE⊥y轴，
∴E（0，-1），F（1，0），
∴CE=DF=4，CF=DE=$\sqrt{{（-4-1）}^{2}+{（-1-0）}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
在DCE与△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}CD=CD\\ CE=DF\\ CF=DE\end{array}\right.$
∴△DCE≌△CDF（SSS），故①正确；
设直线EF的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵E（0，-1），F（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}n=-1\\ m+n=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}n=-1\\ m=1\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=x-1．
∵直线AB的解析式为：y=x+3，
∴AB∥EF，
∴∠FEO=∠ABO，∠EFO=∠BAO，
∴△AOB∽△FOE，故②正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF与△DEF同底等高，
∴△CEF与△DEF的面积相等，故③正确；
∵A（-3，0），B（0，3），C（-4，-1），D（1，4），
∴AC=$\sqrt{（-3+4）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC=BD，即④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查的是反比例函数函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形及相似三角形的判定等知识，涉及面较广．