题目内容

20．如图，P为边长为4的正方形ABCD的对角线AC上动点（不与A、C重合），过P作直线m、n，分别与AD、AB平行，与正方形各边分别交于E、F、G、H，在以下判断中，不正确的是（　　）
A．P点变化时，四边形EFGH面积保持不变
B．P点变化时，六边形DEFBGH面积有最大值12$\sqrt{2}$
C．点P位于正方形ABCD的中心时，DE=2
D．P点变化时，六边形DEFBGH周长保持不变

分析 利用排除法证明A、C、D正确即可判断．

解答 解：A、正确．P点变化时，四边形EFGH面积保持不变．
理由：S四边形EFGH=S△PEH+S△PEF+S△PFG+S△PHG
=$\frac{1}{2}$S矩形DEPH+$\frac{1}{2}$S矩形AFPE+$\frac{1}{2}$S矩形BFPG+$\frac{1}{2}$S矩形PGCH
=$\frac{1}{2}$S正方形ABCD．
C、正确．点P位于正方形ABCD的中心时，DE=2．
D、正确．设AP=x，则PC=4$\sqrt{2}$-x，
则六边形DEFBGH周长=x+4$\sqrt{2}$-x+2•（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=8+4$\sqrt{2}$=定值．
故选项B错误，
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、平行线的性质、矩形的性质、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用排除法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

练习册系列答案
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