Question

4．如图，点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的一点，连结OA，在线段OA上取一点B，作BC⊥x轴于点C，以BC的中点为对称中心，作点O的中心对称点O′，当O′落在这条双曲线上时，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥x轴于点D，由点A在反比例函数图象上设出点A的坐标，由O、A点的坐标即可得出直线OA的解析式，设出点B的坐标，由中点坐标公式以及中心对称的性质找出点O′的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B、A横坐标之间的关系，由此即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．

∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴设点A的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∴直线OA的解析式为y=$\frac{k}{{m}^{2}}$x，
设点B的坐标为（n，$\frac{kn}{{m}^{2}}$），则点C的坐标为（n，0），
线段BC中点的坐标为（n，$\frac{kn}{2{m}^{2}}$）．
∵点O、O′关于点（n，$\frac{kn}{2{m}^{2}}$）对称，
∴点O′的坐标为（2n，$\frac{kn}{{m}^{2}}$）．
∵点O′在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴2n•$\frac{kn}{{m}^{2}}$=k，即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OD}$=$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题已经平行线的性质，解题的关键是找出$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．本题属于中档题，难度不大，但运算稍显繁琐，解决该题型题目时，设出点的坐标，利用平行线的性质找出线段间的比例关系是关键．