Question

1．如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB=6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分别作∠A与∠B角平分线，交点为O．由三线合一可知AP与BP为PM、PN垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，连OP，若半径OP最短，则OP⊥AB，由△AOB为底边6，底角30°的等腰三角形，由此即可解决问题．

解答 解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，
∵△AMP和△NPB都是等边三角形，
∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．
∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，
若半径OP最短，则OP⊥AB．
又∵∠OAP=∠OBP=30°，AB=3，
∴OA=OB，
∴AP=BP=3，
∴在直角△AOP中，OP=AP•tan∠OAP=3×tan30°=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题．需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点，注意数形结合数学思想的应用．