如图.等腰直角三角形ABC.过点A在AB左侧作AE⊥AB.并构造正方形AEDB.点F是AC上一点.且AB=AF.过点A作AG平分∠BAC.AH⊥EF.分别交EF于点G.H.连接DG．(1)若AF=2$\sqrt{2}$.求CF的长．(2)求证:DG+AG=$\sqrt{2}$EG．(3)如图.在等腰直角三角形ABC中.若过点A在AB右侧作AN⊥AB.AM⊥CN.连接BM.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，等腰直角三角形ABC，过点A在AB左侧作AE⊥AB，并构造正方形AEDB，点F是AC上一点，且AB=AF，过点A作AG平分∠BAC，AH⊥EF，分别交EF于点G，H，连接DG．
（1）若AF=2$\sqrt{2}$，求CF的长．
（2）求证：DG+AG=$\sqrt{2}$EG．
（3）如图，在等腰直角三角形ABC中，若过点A在AB右侧作AN⊥AB，AM⊥CN，连接BM，直接写出$\frac{BM}{CM+AM}$的值．

分析（1）根据勾股定理得出AC的长度，再根据边与边之间的关系即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥EF于点M，利用相等的边角关系证出△DEM≌△EAH（AAS），由此即可得出DM=EH，EM=AH，再通过角的计算找出△AHG、△DMG均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可证出DG+AG=$\sqrt{2}$EG；
（3）以AC为直径作圆，延长MN到Q，使得MQ=AM，连接AQ，根据∠AMC=∠ABC=90°，可得出点B、M在圆上，根据圆周角定理即可得出∠AMB=∠ACB=45°，由∠AMN=90°，AM=MQ可得出△AMQ为等腰直角三角形，进而得出∠AQM=45°=∠AMB，再通过角的计算得出∠BAM=∠CAQ，由此即可得出△BAM∽△CAQ，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{BM}{CM+AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=AF=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∴CF=AC-AF=4-2$\sqrt{2}$；
（2）证明：如图1，过点D作DM⊥EF于点M，
则∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠AEH=90°，
∴∠EDM=∠AEH，
∵AH⊥EF，
∴∠AHE=∠DME=90°，∠FAH=$\frac{1}{2}$∠EAF=$\frac{1}{2}$×（90°+45°）=67.5°，
在△DEM和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠AEH}\\{∠DME=∠EHA}\\{DE=EA}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△EAH（AAS），
∴DM=EH，EM=AH，
∵AG平分∠BAC，
∴∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠HAG=∠FAH-∠FAG=45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴AH=HG，AG=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$EM，
∴EM=HG，
∴EH=GM，
∴DM=MG，
即△DMG是等腰直角三角形，
∴DG=$\sqrt{2}$MG，
∴DG+AG=$\sqrt{2}$GM+$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$（GM+EM）=$\sqrt{2}$EG；
（3）解：如图2，以AC为直径作圆，延长MN到Q，使得MQ=AM，连接AQ．
∵AM⊥CN，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠AMC=∠AMN=90°，∠ABC=90°，
∴点B、M在圆上，
∴∠AMB=∠ACB=45°．
∵∠AMN=90°，AM=MQ，
∴△AMQ为等腰直角三角形，
∴∠AQM=45°=∠AMB．
又∵∠BAM=∠BAC+∠CAM=45°+∠CAM，∠CAQ=∠CAM+∠MAQ=∠CAM+45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△BAM∽△CAQ，
∴$\frac{BM}{CQ}=\frac{BA}{CA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵CQ=CM+MQ=CM+AM，
∴$\frac{BM}{CM+AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据勾股定理算出AC的长度；（2）根据等腰直角三角形的性质找出DG+AG=$\sqrt{2}$GM+$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$（GM+EM）=$\sqrt{2}$EG；（3）根据相似三角形的性质找出比例关系式．本题属于难题，考到较多的知识点，解决该题型题目时，构建等腰直角三角形以及圆，利用等腰直角三角形的性质找出边与边的关系以及利用圆周角定理找出相等的角是关键．