Question

16．小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．
（1）请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；
（2）求所得直角三角形内切圆的半径长．

Answer 1

分析 （1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；
（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）依照题意画出图形，如下图所示：

4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）设直角三角形内切圆的半径长x．
①当4倍单位长度为直角边时，有（2-x）+（4-x）=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$，
解得：x=3-$\sqrt{5}$；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2-x）+（$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$-x）=4，
解得：x=$\sqrt{3}$-1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3-$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了尺规作图以及三角形的内切圆与内心，解题的关键是：（1）分情况画图；（2）分情况得出关于x的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据内切圆的性质找出关于内切圆的半径的一元一次方程是关键．