Question

14．已知：如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥BC，根据勾股定理求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）分两种情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的长和∠B的度数进行求解即可；
（3）先作QD⊥AB于D，根据∠BQD=30°，得到QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，然后根据四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五，可得出一个关于t的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，则∠BAC=30°，
∵AC=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；

（2）设经过t秒，△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，
∴BP=（4-t）cm，
若△PBQ是直角三角形，则分两种情况：
①当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（4-t），
解得t=$\frac{4}{3}$（秒），
②当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
4-t=$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{8}{3}$（秒），
综上所述，当t=$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ是直角三角形；

（3）不存在这样的t．
理由：如图，作QD⊥AB于D，则∠BQD=30°，
∴QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴△BQP的面积=$\frac{1}{2}$×BP×QD
=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
=$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²，
当四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{5}{8}$时，△BQP的面积是△ABC面积的$\frac{3}{8}$，
即$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²=$\frac{3}{8}$×4$\sqrt{3}$，
化简得：t²-4t+6=0，
∵△=b²-4ac=16-4×1×6=-8＜0，
∴不存在这样的t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式的运用，根据题意作出辅助线构造直角三角形，利用数形结合思想进行求解是解答此题的关键．