Question

【题目】已知：如图，点是以为直径的上一点，直线与过点的切线相交于，点是的中点，直线交直线于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）的半径为6.

【解析】

(1)连接CB、OC,根据切线得∠ABD=90°,根据圆周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF是O得切线;

(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论.

（1）证明：连接，，

∵为的切线，是的直径，

∴，.

∴.

∴.

∵为的中点，

∴.

∴.

又∵

∴.

∴.

∴是的切线.

（2）解：∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∴

∴，即的半径为6.