Question

【题目】如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交与点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

（3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在， ，

【解析】

（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）设点P（m，），表示出PE＝，再用S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出最值即可；

（3）先判断出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．

（1）∵点，在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为，

（2）∵AC∥x轴，A（0，3）

∴＝3，

∴x1＝6，x2＝0，

∴点C的坐标（8，3），

∵点，，

求得直线AB的解析式为y＝x＋3，

设点P（m，）∴E（m，m＋3）

∴PE＝m＋3（）＝，

∵AC⊥EP，AC＝8，

∴S四边形AECP

＝S△AEC＋S△APC

＝AC×EF＋AC×PF

＝AC×（EF＋PF）

＝AC×PE

＝×8×（）

＝m212m

＝（m＋6）2＋36，

∵8＜m＜0

∴当m＝6时，四边形AECP的面积的最大，此时点P（6，0）；

（3）∵＝，

∴P（4，1），

∴PF＝yFyP＝4，CF＝xFxC＝4，

∴PF＝CF，

∴∠PCF＝45°

同理可得：∠EAF＝45°，

∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的Q，

设Q（t，3）且AB＝=12，AC＝8，CP＝，

∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

①当△CPQ∽△ABC时，

∴，

∴，

∴t＝或t＝（不符合题意，舍）

∴Q（，3）

②当△CQP∽△ABC时，

∴，

∴，

∴t＝4或t＝20（不符合题意，舍）

∴Q（4，3）

综上，存在点 .