Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或．（3）当时，面积的最大值是，此时P点坐标为．

【解析】

（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；

（2）先求出C点坐标和E点坐标，则，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点M的坐标；

（3）如图，作轴交直线于点G，设，则，可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．

解：（1）∵抛物线经过、两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为，

∵直线经过、两点，

∴，解得：，

∴直线的解析式为，

（2）∵，

∴抛物线的顶点C的坐标为，

∵轴，

∴，

∴，

①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，

设，则，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，

设，则，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

综合可得M点的坐标为或．

（3）如图，作轴交直线于点G，

设，则，

∴，

∴，

∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为．