题目内容
【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是 ，MN与EC的数量关系是
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）成立，见解析.
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系；
（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），进而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，进而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），得出，MN与EC的数量关系．
解：（1），理由如下：
∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是三角形BED的中位线，
∴MN∥BE，MN=
BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=EC，∠AED=90°，
∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN=EC，
故答案为：MN⊥EC，MN=EC；
（2），理由如下：
如下图，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF，
∵BM=MD，∠EMD=∠BMF，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
而AC＝BC，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°
又点M、N分别是EF、EC的中点
∴MN∥FC，
∴MN⊥EC，
再如下图所示，连接EM并延长交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，
在△EDM和△FBM中，
，
∴△EDM≌△FBM（AAS），
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴
.
