Question

19．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，动点P从点B出发，以1cm/s速度沿射线BC运动，连接AP，以AP为边向其右侧作等边三角形APQ，连按CQ，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在边BC上时，求CQ的长（用含t的式子表示）；
（2）用含t的式子表示CP的长；
（3）当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，进而得出∠BAP=∠CAQ，即可判断出，△ABP≌△ACQ，最后代换即可；
（2）分点P在线段BC和BC的延长线上两种情况讨论计算；
（3）分点P在线段BC和BC的延长线上两种情况讨论计算；

解答 解：（1）∵△ABC，△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ，
∴BP=CQ，
由运动知，BP=t，
∴CQ=BC-t=2-t；
（2）当点P在线段BC上时，即：0＜t≤2，CP=BC-BP=2-t，
当点P在BC的延长线上时，即：t＞2，CP=BP-BC=t-2；
（3）当点P在线段BC上时，
∵AP=AQ，
要使以点A、P、C、Q为顶点的四边形是轴对称图形，只须CP=CQ，
由（2）知，BP=CQ，
∴BP=CP，
∴t=2-t，
∴t=1，
当点P在线段BC上时，
∵QP=AQ，
要使以点A、P、C、Q为顶点的四边形是轴对称图形，只须CP=CA，
∴t-2=2，
∴t=4，
即：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是轴对称图形时，t的值为1或4．

点评 此题是几何变换综合题．主要考查的动点问题，等边三角形的性质，轴对称性，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ABP≌△ACQ，分类讨论是解本题的难点，是一道中等难度的中考常考题．