Question

6．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD=4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．首先证明△CPE≌△PDF，得到DF=PE=2，推出BD=BF+DF=4，由BD=4AD，推出AD=1，AB=OB=5，CE=PF=3，D（5，4），C（0，5），利用待定系数法求出直线CD的解析式，利用方程组即可求出点Q的坐标．

解答 解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．

∵AB⊥OB，
∴∠OBF=∠EOB=∠FEO=90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE=PE=BF=2，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPE+∠DPF=90°，∠ECP+∠CPE=90°，
∴∠ECP=∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEC=∠PFD}\\{∠PCE=∠DPF}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△PDF，
∴DF=PE=2，
∴BD=BF+DF=4，
∵BD=4AD，
∴AD=1，AB=OB=5，
∴CE=PF=3，
∴D（5，4），C（0，5），
设直线CD的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{5}x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{6}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．
故答案为（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．

点评 本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．