Question

已知∠GOH=90°，A、C分别是OG、OH上的点，且OA=OC=4，以OA为边长作正方形OABC．
（1）E是边OC上一点，作∠AEF=90°使EF交正方形的外角平分线CF于点F（如图1），求证：EF=AE．
（2）现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在∠GOH的角平分线OP上时停止旋转；旋转过程中，AB边交OP于点M，BC边交OH于点N（如图2），
①旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
②设△MBN的周长为p，在正方形OABC的旋转过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线，证明△AME≌△ECF，即可解决问题．
（2）如图2，根据题意结合图形，证明△OAM≌△OCN，得到∠AOM=∠CON=

90°-45°

2

=22.5°，求出∠GOA即可解决问题．
（3）如图3，作辅助线，证明△OAM≌△OCQ，得到OM=OQ，∠MON=∠QON；证明△OMN≌△OQN，得到MN=QN=AM+CN，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，
在OA上截取线段AM，使AM=CE；
∵四边形ABCO是正方形，
∴AO=CO，∠O=∠ECB=90°；
∴OM=OE，∠OME=45°；而OF平分∠BCH，
∴∠AME=135°，∠ECF=90°+45°=135°；
∵AE⊥EF，∠O=90°，
∴∠OAE+∠AEO=∠AEO+∠CEF，
∴∠OAE=∠CEF；
在△AME与△ECF中，

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠AMC=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EF=AE．
（2）如图2，∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM，BM=BN；
∵AB=BC，
∴AM=CN；
∵四边形ABCO是正方形，
∴AO=CO，∠OAM=∠OCN；
在△OAM与△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=CN

，
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON=

90°-45°

2

=22.5°，
∴∠GOA=45°-22.5°=22.5°，
即当MN和AC平行时，正方形OABC旋转了22.5°．
（3）如图3，延长BC到Q，使CQ=AM，连接OQ；
在△OAM与△OCQ中，

OA=OC ∠OAM=∠OCQ AM=CQ

，
∴△OAM≌△OCQ（SAS），
∴∠COQ=∠AOM，
∠QON=∠AOM+∠CON=45°，
OM=OQ；
在△OMN与△OQN中，

OM=OQ ∠MON=∠QON ON=ON

，
∴△OMN≌△OQN（SAS），
∴MN=QN=AM+CN，
∴△MBN的周长p=2AB=8，为定值，不变．

点评：该题以正方形为载体，以旋转变换为方法，以全等三角形的判定及其性质、正方形的性质等重要几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．