Question

2．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于点D的点，且∠NMB=∠MBC，求$\frac{AM}{AB}$的值．

Answer 1

分析 根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切，即AM：AB的值．

解答 解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴$\frac{AM}{MB}=\frac{OB}{BT}$，
即MB²=2AM•BT ①，
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2-K，BM=$\sqrt{4+（2-K）^{2}}$，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=$\frac{4}{3}$．
∴AM=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$．
∴tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．