Question

阅读下面的材料：
∵ax²+bx+c=0（a≠0）的根为：x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=

-2b

2a

=-

b

a

，x₁•x₂=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

，
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，请利用这一结论解决问题：
（1）若x²+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x²+3x+1=0的根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：阅读型

分析：（1）根据根与系数的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

来求b、c的值；
（2）利用完全平方公式对x₁²+x₂²进行变形，然后将x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

代入求值即可．

解答：解：（1）∵x²+bx+c=0的两根为1和3，
∴1×3=-b，1+3=c，
解得 b=-3，c=4；

（2）∵方程2x²+3x+1=0的根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-

3

2

）²-2×

1

2

=

9

4

-1=

5

4

．

点评：本题考查了根与系数的关系．若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．