Question

如图，点B在⊙O的直径AC的延长线上，点D在⊙O上，AD=BD=4，∠A=30°，
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求线段CB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ADB=120°，∠ADO=∠A=30°，那么∠ODB=90°，根据切线的判定方法即可证明BD是⊙O的切线；         
（2）解含30°角的Rt△OBD，得出OB=2OD，BD=

3

OD=4，那么OD=

4

3

=

4 3

3

，再根据CB=OB-OC=2OD-OD=OD即可求解．

解答：解：（1）如图，连接OD，
∵AD=BD，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=120°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ADO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴BD是⊙O切线；        

（2）在Rt△OBD中，∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴OB=2OD，BD=

3

OD=4，
∴OD=

4

3

=

4 3

3

，
∴CB=OB-OC=2OD-OD=OD=

4 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了含30°角的直角三角形的性质．