题目内容
【题目】抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线
相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）①
；②存在，（2，
）或（
，
）.
【解析】
试题（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有
或
两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴
，解得
∴该抛物线对应的函数解析式为；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，
）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，
），
∴PN=
.
联立直线CD与抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴C（0，3），D（7，
），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，
则CE=t，DF=7﹣t，
∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=
PN·CE+PNDF=
PN=
，
∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
∴CQ=t，NQ=﹣3=
，
∴
，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，PM=0﹣（）=
，
当时，则PM=
BM，即
，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM=PM，即5﹣t=（），解得t=或t=5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或（，）．
