Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，求证：

（1）△ADE≌△CDF；

（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；

（2）由△ADE≌△CDF得到DE=DF，进而证明出△DEF是等边三角形，再解直角三角形求出DF的长，即可求出△EDF的周长．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C，

∵DE⊥BA，DF⊥CB，

∴∠AED＝∠CFD＝90°，

在△ADE和△CDF，

∵，

∴△ADE≌△CDF；

（2）∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵菱形ABCD，DE⊥AB于点E，∠A＝60°，

∴∠ADC＝120°，∠ADE＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形，

在Rt△AED中，∵AD＝4，∠A＝60°，

∴DE＝sin60°AD＝2，

∴△EDF的周长＝3DE＝6．