Question

如图，已知点A是双曲线y=

3

x

在第一象限上的一动点，连接AO，以OA为一边作Rt△AOB（∠AOB=90°，且∠OAB=30°），点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．

解答：解：作AC⊥y轴于点C，作BD⊥y轴于点D．
∵在直角△AOB中，∠OAB=30°，
∴

OA

OB

=

3

．
∵点A是双曲线y=

3

x

上，
∴S_△OAC=

3

2

，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴

S△OAC

S△BOD

=（

OA

OB

）2=3．
∴S△BOD=

1

3

×

3

2

=

1

2

．
则B点所在函数的解析式是：y=-

1

x

．
故答案是：y=-

1

x

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的意义，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是关键．