Question

10．已知二次函数y=x²-2（k+1）x+2（k-1）
（1）求证：不论k为何值，二次函数图象必与x轴交于两个点；
（2）k为何值时，这两个交点都位于原点的右侧？
（3）k为何值时，这两个交点都位于原点的两侧？
（4）k为何值时，抛物线关于y轴对称？

Answer 1

分析 （1）根据△=4（k+1）²-4×2（k-1）恒大于0即可证明；
（2）两个交点都位于原点的右侧，则x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，解不等式组即可；
（3）两个交点都位于原点的两侧，则x₁x₂＜0，解不等式即可；
（4）抛物线关于y轴对称，则x₁+x₂=0，解方程即可．

解答 解：（1）∵△=4（k+1）²-4×2（k-1）=4k²+12＞0，
∴不论k为何值，二次函数图象必与x轴交于两个点；
（2）设二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），
∵两个交点都位于原点的右侧，
∴x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，
即2（k+1）＞0，2（k-1）＞0，
解得：k＞1，
∴当k＞1时，两个交点都位于原点的右侧；
（3）设二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），
∵两个交点都位于原点的两侧，
∴x₁x₂＜0，
即2（k-1）＜0，
解得：k＜1，
∴当k＜1时，两个交点都位于原点的两侧；
（3）设二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），
∵抛物线关于y轴对称，
∴x₁+x₂=0，
即2（k+1）=0，
解得：k=-1，
∴当k=-1时，抛物线关于y轴对称．

点评 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟悉一元二次方程根与系数的关系与二次函数与x轴交点位置的对应关系是解决问题的关键．