Question

11．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD²=BE•BC；
（3）当CG=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{9}{2}$时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论；
（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；
（3）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（2）的结论解出x的值，可得CD的长．

解答 证明：（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD；
（2）∵AE为⊙O的切线，
∴AE⊥AC，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠EAB=∠ACB，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}$，
∴AB²=BE•BC，
由（1）知：AB=CD，
∴CD²=BE•BC；
（3）∵F是AC的三等分点，
∴AF=2FC，
∵FG∥BE，
∴△AFG∽△ACB，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AG}{BG}$=2，
设BG=x，则AG=2x，
∴AB=3x，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{3}$，
∴BC²=（$\sqrt{3}$）²-x²，
BC=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
由（2）得：AB²=BE•BC，
（3x）²=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
4x⁴+x²-3=0，
（x²+1）（4x²-3）=0，
x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=AB=3x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是圆和四边形的综合题，难度适中，考查了矩形的性质和判定、平行相似的判定、三角形相似的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等知识，注意第2和3问都应用了上一问的结论，与方程相结合，熟练掌握一元高次方程的解法．